नमस्कार दोस्तों। मैं आपका हमारी वेबसाइट Hindi Learning पर स्वागत करती हूं। आप जानते हैं गणित हमारे जीवन में बहुत महत्वपूर्ण है। यही कारण है कि हम छोटी उम्र से गणित सीख रहे हैं। गणित में विभिन्न प्रकार की संख्याएं और सूत्र हैं। उनमें से एक काल्पनिक संख्या है। आजकल प्रतियोगी परीक्षाओं में जटिल संख्याओं पर बहुत सारे प्रश्न पूछे जाते हैं। इसके दो भाग हैं सम्मिश्र संख्याओं का वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग हमने अपनी वेबसाइट पर सीखा है कि वास्तविक संख्या किसे कहते हैं और सम्मिश्र संख्या किसे कहते हैं। इसलिए आज हम जानेंगे कि काल्पनिक संख्या किसे कहते हैं।
काल्पनिक संख्या क्या हैं
एक काल्पनिक संख्या एक संख्या है जिसे वास्तविक संख्या को काल्पनिक इकाई i गुणा के रूप में लिखा जाता है, जो इसके गुण्धर्म i^2 =-1 द्वारा परिभाषित किया है। एक काल्पनिक संख्या का वर्ग शून्य अथवा ऋणात्मक होता है। उदाहरण के लिए 5i एक काल्पनिक संख्या है जिसका वर्ग -25 है।
जब एक काल्पनिक bi को वास्तविक संख्या a में जोड़ा जाता है तो यह एक सम्मिश्र संख्या a+bi बनाता है। जहां a वास्तविक भाग होता है, जबकि bi काल्पनिक भाग होता है। अतः काल्पनिक संख्या उस सम्मिश्र संख्या को भी कहा जा सकता है जिसका वास्तविक भाग शून्य है।अलेक्जेंड्रिया के हीरो कहे जाने वाले ग्रीक गणितज्ञ ने सबसे पहले काल्पनिक संख्याओं का आविष्कार किया। बाद में 1572 में, एक इतालवी गणितज्ञ गेरोलामो कार्डानो ने काल्पनिक संख्याओं को गुणा करने के नियम विकसित किए।
काल्पनिक संख्या की परिभाषा
जैसा कि नाम से पता चलता है कि काल्पनिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो वास्तविक नहीं होती हैं। जिस संख्या का कोई मान नहीं होता, वह काल्पनिक संख्या कहलाती है। ये संख्याएँ ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करने में सहायक होती हैं। एक काल्पनिक संख्या एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या और काल्पनिक इकाई “i” (जिसे “आईओटा” भी कहा जाता है) का उत्पाद है, जहां i = √(-1) (या) i2 = -1।
काल्पनिक संख्याओं की गणना
हम सभी गणना काल्पनिक संख्याओं पर भी कर सकते हैं जैसे हम वास्तविक संख्याओं के साथ कैसे करते हैं। आइए देखें कि हम उन्हें कैसे करते हैं।
1.काल्पनिक संख्याओं को जोड़ना/घटाना
काल्पनिक संख्याओं को जोड़ना या घटाना ठीक उसी तरह है जैसे हम बीजगणित में अन्य संख्याओं के साथ करते हैं।
उदाहरण– 2i + 3i = 5i, 2i – 3i = -i..
2.काल्पनिक संख्याओं को गुणा करना
हम काल्पनिक संख्याओं को वैसे ही गुणा करते हैं जैसे हम बीजगणित के पदों को कैसे गुणा करते हैं। यहां, हमें घातांक के नियम का उपयोग करना पड़ सकता है a^m × a^n = a^m+n.(जहाँ i^2=-1)।
उदाहरण: 2i × 3i = 6i2 = 6(-1) = -6
हमें लग सकता है कि आयोटा की शक्तियों को सरल बनाना मुश्किल है। लेकिन कुछ नियम हैं जो सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करके i खोजने में मदद करते हैं।
i4k = 1
i4k+1 = 1
i4k+2 = -1
i4k+3 = -i
जहाँ k एक पूर्ण संख्या है। इन नियमों में कहा गया है कि “i” को किसी संख्या तक बढ़ाया गया “i” के बराबर है जो उस संख्या तक बढ़ा दिया गया है जो मूल संख्या को 4 से विभाजित करके प्राप्त शेष है। उदाहरण के लिए:
i4 = i0 = 1
i17 = i1 = i
i की कोई भी घात सरलीकरण के बाद 1, i, -i, और -1 में से एक के बराबर होती है।
3.काल्पनिक संख्याओं को विभाजित करना
काल्पनिक संख्या विभाजित करते समय, हम घातांक के नियम का उपयोग करते हैं a^m/a^न = a^m-n। भाग के बाद के परिणाम में, हम आमतौर पर हर में “i” नहीं रखते हैं। यदि हम ऐसा प्राप्त करते हैं, तो हम नियम 1/i = -i का प्रयोग करते हैं।
उदाहरण:4i/2i = 2,3i3 / 4i6 = 3/(4i3) = 3/(4(i2)(i)) = -3/(4i) = (-3/4)(-i) = 3i/4…
काल्पनिक संख्याओं पर युक्तियाँ और तरकीबें
- जब ऋण चिह्न वर्गमूल से निकलता है, तो वह i हो जाता है क्योंकि गणित में i का मान i = (-1) होता है।
- n√xxn को काल्पनिक संख्याओं का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है जहाँ x ऋणात्मक है और n सम संख्या है।
- जब “i” हर (या i की नकारात्मक शक्तियों के मामले में) हो, तो नियम 1/i= -i का उपयोग करें।
- in = ir, जहां ‘r’ n को 4 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल है। तब हम नियमों में से एक को लागू कर सकते हैं: i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1।
निष्कर्ष
तो दोस्तों आज हमने जाना कि काल्पनिक संख्या किसे कहते हैं और इसके कुछ महत्वपूर्ण संचालन। मुझे आशा है कि आप काल्पनिक संख्याएँ समझ गए होंगे। हमने आपको काल्पनिक संख्याओं को आसानी से समझाने की पूरी कोशिश की है। मुझे उम्मीद है कि आपको इसमें और कोई संदेह नहीं है। मुझे आशा है कि आपको हमारा लेख पसंद आया होगा यदि हाँ तो कमेंट करें और हमें बताएं। अधिक रोचक जानकारी के लिए हमारे साथ बने रहें। हमारा लेख आखिर तक पढ़ने के लिए धन्यवाद।
