पूर्ण संख्या किसे कहते हैं? पूर्ण संख्या की परिभाषा, सूत्र, और उदाहरण

नमस्कार दोस्तों, मैं आपका हमारी वेबसाइट Hindi Learning पर स्वागत करता हु । हमारे जीवन में संख्याएं महत्वपूर्ण हिस्सा हैं और हमें उनकी हर समय आवश्यकता होती है। जैसा कि आप जानते हैं कि दुनिया में विभिन्न प्रकार की संख्याएं हैं जैसे प्राकृतिक संख्याएं, पूर्ण संख्याएं इत्यादि। आज हम इनमें से एक प्रकार के बारे में बात करने जा रहे हैं और वह है पूर्ण संख्याएं। पूर्ण सांख्य मे सभी प्राकृतिक संख्या भी होती हैं। चलिए जानते है की पूर्ण संख्या किसे कहते हैं और पूर्ण संख्या की क्या परिभाषा हैं।

पूर्ण संख्या किसे कहते हैं

पूर्ण संख्याएँ सभी प्राकृत संख्याएँ और साथ ही शून्य भी होती हैं। यह वास्तविक संख्याओं का एक भाग है जिसमें दशमलव, भिन्न या ऋणात्मक संख्याएँ शामिल नहीं होती हैं। गणना संख्याओं को पूर्ण संख्याएँ भी कहा जाता है। यह धनात्मक पूर्णांकों और शून्य का संग्रह है। प्राकृत और पूर्ण संख्याओं के बीच प्राथमिक अंतर सेट में पूर्ण संख्याओं में शून्य की उपस्थिति है। पूर्ण संख्याओं को निरूपित करने के लिए प्रयोग किया जाने वाला प्रतीक अक्षर ‘W’ है। W = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …

पूर्ण संख्या की परिभाषा

संख्या प्रणाली का उपसमुच्चय जिसमें 0 सहित सभी धनात्मक पूर्णांक होते हैं, उनको पूर्ण संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक पूर्ण संख्या केवल कोई भी सकारात्मक संख्या होती है जिसमें आंशिक या दशमलव भाग शामिल नहीं होता है। इसमें ऋणात्मक संख्याएँ शामिल नहीं हैं। इसका मतलब है कि, उदाहरण के लिए, संख्याएँ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7…. सभी पूर्ण संख्याएँ हैं। पूर्ण संख्याएँ शून्य से शुरू होती हैं और अनंत पर समाप्त होती हैं।

क्योकीं पूर्णांक ऋणात्मक अनंत से धनात्मक अनंत तक होते हैं और इसलिए, पूर्ण संख्याएँ हमेशा पूर्णांकों का एक उपसमुच्चय होती हैं। पूर्ण सांख्य और प्राकृतिक संख्या में एक ही अंतर हैं और वो हैं की पूर्ण संख्या मे शून्य होता है और प्राकृतिक संख्या में शून्य नही होता। 1968 में बॉब सिनक्लर ने पूर्ण संख्याओं की खोज की।

पूर्ण संख्या के गुण

पूर्ण संख्याओं के गुण अंकगणित के जोड़, घटाव, भाग और गुणा पर आधारित होते हैं। तो जानते हैं इन गुणो के बारे में-

क्लोजर प्रॉपर्टी

उन्हें जोड़ और गुणा के तहत बंद किया जा सकता है, अर्थात, यदि x और y दो पूर्ण संख्याएँ हैं तो a×b या a + b भी एक पूर्ण संख्या है।

उदाहरण – हमें पता हैं – 2 और 4 पूर्ण संख्या हैं।

• 2 + 4 = 6 (जो एक पूर्ण संख्या हैं)
• 2 × 4 = 8 (जो एक पूर्ण संख्या हैं)

जोड़ और गुणा का कंमुटेतीव प्रॉपर्टी

दो पूर्ण संख्याओं का योग और गुणनफल समान होगा चाहे वे किसी भी तरह से जोड़े या गुणा किए जाएं। अर्थात a + b = b + a और a × b = b × a.

उदाहरण – 2 ,4 पूर्ण सांख्य हैं।

• 2 + 4 = 6 और 4 + 2 = 6
• 2 × 4 = 8 और 4 × 2 = 8

एडिटिव आयडेंटिटी

जब एक पूर्ण संख्या को शून्य में जोड़ा जाता है तो इसका मान नहीं बदलता है। अर्थात a + 0 = 0 + a = a

उदाहरण – 2 पूर्ण संख्या हैं।

• 2 + 0 = 2
• 0 + 2 = 2

इसलिये 2 + 0 = 0 + 2 = 2

गुणक आयडेंटिटी

जब किसी पूर्ण संख्या को एक से गुणा किया जाता है तो उसका मान नहीं बदलता है। अर्थात a × 1 = 1 × a = a.

उदाहरण – 2 पूर्ण संख्या हैं।

• 2 × 1 = 2
• 1 × 2 = 2

इसलिये, 2 × 1 = 1 × 2 = 2

अससोसिएतिव प्रॉपर्टी

जब पूर्ण संख्याओं को एक समुच्चय के रूप में जोड़ा या गुणा किया जाता है, तो उन्हें किसी भी क्रम में समूहीकृत किया जा सकता है, और परिणाम समान होगा, अर्थात यदि a, b और c पूर्ण संख्याएँ हैं तो a + (b+c) = (a + b) + c and a × (b×c)=(a×b)×c

उदाहरण– तीन पूर्ण संख्याओं 2, 3 और 4 पर विचार करें।

• 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
• (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9

अत: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

• 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
• (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

यहाँ, 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4

डिस्त्रीबुतीव प्रॉपर्टी

यदि a, b और c तीन पूर्ण संख्याएँ हैं, तो योग पर गुणन का वितरण गुण a है। (b + c) = (a × b) + (a × c), इसी प्रकार, घटाव पर गुणन का वितरण गुण a है। (b – c) = (a × b) – (a × c)

उदाहरण – तीन पूर्ण संख्याओं 9, 11 और 6 पर विचार करें।

• 9 × (11 + 6) = 9 × 17 = 153
• (9 × 11) + (9 × 6) = 99 + 54 = 153

यहाँ, 9 × (11 + 6) = (9 × 11) + (9 × 6)

• 9 × (11 – 6) = 9 × 5 = 45
• (9 × 11) – (9 × 6) = 99 – 54 = 45

तो, 9 × (11 – 6) = (9 × 11) – (9 × 6)

पूर्ण संख्या के तथ्य

• ‌दो संख्याओं का किया गया योग और गुणनफल वो ही होगा, जिसमे उन्ही संख्या को जोड़ा या गुणा किया गया है।
• ‌प्रत्येक प्राकृत संख्या पूर्ण संख्याए होती है।
• ‌सभी पूर्ण संख्या प्राकृत संख्याए नही होती है।
• ‌किसी पूर्ण संख्या की जब 1 से गुणा करते है, तो उसका परिणाम अपरिवर्तित रहता है।
• ‌एक पूर्ण संख्या की जब 0 से गुणा करते है, तो उसका मान हमेशा 0 होता है।
• ‌पूर्ण संख्या की योगात्मक पहचान 0 है।
• ‌पूर्ण संख्या की गुणात्मक पहचान 1 हैं।
• ‌पूर्ण संख्याए योग करने में साहचर्य नियम का पालन करती है।

निष्कर्ष

तो दोस्तों आज हमने चर्चा की पूर्ण संख्या के बारे में। मुझे आशा है कि आप समझ गए होंगे कि पूर्ण संख्या किसे कहते हैं । मुझे उम्मीद है कि आपको इसमें और कोई संदेह नहीं है। अगर आपको हमारा लेख पसंद आया तो हमें कमेंट करके जरूर बताएं। अधिक रोचक जानकारी के लिए हमारे साथ बने रहें। लेख को आखिर तक पढ़ने के लिए धन्यवाद।