सम्मिश्र संख्या किसे कहते हैं जाने उदहारण सहित…

नमस्कार दोस्तों, मैं आपका हमारी वेबसाइट Hindi Learning पर स्वागत करती हूं। आप जानते हैं कि संख्याएँ हमारे दैनिक जीवन में कई मायनों में हमारे लिए महत्वपूर्ण हैं।  इसलिए हम अपनी वेबसाइट पर सभी प्रकार की संख्याओं को समझाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं। अब तक हमने अपनी वेबसाइट पर प्राकृतिक संख्याओं, पूर्ण संख्याओं, वास्तविक संख्याओं, पूर्णांकों आदि की व्याख्या की है। आज हम इस प्रकार की एक और संख्या के बारे में चर्चा करेंगे और वह है सम्मिश्र संख्या किसे कहते हैं। आमतौर पर लोगों को सम्मिश्र संख्याओं को समझने में कठिनाई होती है। इसलिए आज हम आपको सम्मिश्र संख्याएँ सरल भाषा में समझाएँगे।

सम्मिश्र संख्या क्या हैं

गणित में, एक जटिल संख्या एक संख्या प्रणाली का एक तत्व है जो वास्तविक संख्याओं को एक विशिष्ट तत्व के साथ विस्तारित करती है जिसे दर्शाया गया है i, जिसे काल्पनिक इकाई कहा जाता है और समीकरण i^2 = −1 को संतुष्ट करता है, प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को a+bi के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं।  क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है, i को रेने डेसकार्टेस द्वारा एक काल्पनिक संख्या कहा गया था। 18वीं शताब्दी में सम्मिश्र संख्याओं का व्यापक उपयोग हुआ, क्योंकि यह देखा गया कि त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़ी गणनाओं को सरल बनाने के लिए सम्मिश्र अभिव्यक्तियों के औपचारिक हेरफेर का उपयोग किया जा सकता है।

सम्मिश्र संख्या की परिभाषा

एक सम्मिश्र संख्या को a+bi के रूप में दर्शाया जाता है। जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i को एक काल्पनिक संख्या कहा जाता है। उदाहरण के लिये 2+3i एक सम्मिश्र संख्या हैं। i का मूल्य √-1 हैं। वास्तविक संख्या a को a+bi में वास्तविक भाग कहा जाता है और वास्तविक संख्या b को काल्पनिक भाग कहा जाता है। जानकारी के लिए, काल्पनिक भाग में एक कारक शामिल नहीं होता है यानी i, यानी काल्पनिक हिस्सा b है, bi नहीं। एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल आसानी से ज्ञात करने के लिए सम्मिश्र संख्या का उपयोग किया जाता है।

एक सम्मिश्र संख्या को एक बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें वास्तविक गुणांक एकल अनिश्चित i में होता है, जिसके लिए संबंध i2 + 1 = 0 लगाया जाता है। इस परिभाषा के आधार पर, बहुपद के लिए जोड़ और गुणा का उपयोग करके जटिल संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को प्रतीकों C द्वारा निरूपित किया जाता है।

सम्मिश्र संख्या के उदाहरण:12+3i, 45i, -3+7i….

सम्मिश्र संख्या के गुण

सम्मिश्र संख्याओं के गुण हमें उन्हें समझने और सम्मिश्र संख्याओं पर विभिन्न अंकगणितीय संक्रिया करने में मदद करते हैं।

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्मन

सम्मिश्र संख्या का संयुग्म सम्मिश्र संख्या के उसी वास्तविक भाग को लेकर और सम्मिश्र संख्या के काल्पनिक भाग को उसके योगात्मक प्रतिलोम में बदलकर बनता है। यदि दो सम्मिश्र संख्याओं का योग और गुणनफल वास्तविक संख्याएँ हों, तो वे संयुग्म सम्मिश्र संख्याएँ कहलाती हैं।

उदाहरण: एक सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए, संयुग्म z = a – ib होता है।

एक सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम

सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम एक सम्मिश्र संख्या को दूसरी सम्मिश्र संख्या से विभाजित करने में सहायक होता है। सम्मिश्र संख्याओं के विभाजन की प्रक्रिया एक सम्मिश्र संख्या के गुणनफल के साथ दूसरी सम्मिश्र संख्या के व्युत्क्रम के बराबर होती है।

उदाहरण:- सम्मिश्र संख्या z = a + ib का व्युत्क्रम है

Z=1/a+ib = a-ib/a^2 + b^2 = a/a^2 + b^2 + i(-b)/a^2 + b^2

सम्मिश्र संख्याओं की समानता

सम्मिश्र संख्याओं की समानता वास्तविक संख्याओं की समानता के समान होती है। दो सम्मिश्र संख्याएँ z=a+bi तथा r=x+yi को समान कहा जाता है यदि उनके वास्तविक भाग समान हों अर्थात a=x और उनके काल्पनिक भाग समान हों अर्थात b=y। इसके अलावा, ध्रुवीय रूप में दो सम्मिश्र संख्याएँ बराबर हैं , यदि और केवल तभी जब उनका परिमाण समान हो और उनका तर्क (कोण) 2π के पूर्णांक गुणज से भिन्न हो।

सम्मिश्र संख्याओं की ओरडेरिंग

सम्मिश्र संख्याओं का क्रम संभव नहीं है। वास्तविक संख्याओं और अन्य संबंधित संख्या प्रणालियों का आदेश दिया जा सकता है, लेकिन सम्मिश्र संख्याओं का आदेश नहीं दिया जा सकता है। सम्मिश्र संख्याओं में एक क्रमबद्ध क्षेत्र की संरचना नहीं होती है, और सम्मिश्र संख्याओं का कोई क्रम नहीं होता है जो जोड़ और गुणा के साथ संगत होते हैं।

यूलर का सूत्र

किसी भी वास्तविक मूल्य के लिए यूलर के सूत्र के अनुसार θ हमारे पास eiθ = Cosθ + iSinθ है, और यह समन्वय विमान में सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जहां Cosθ वास्तविक भाग है और x-अक्ष के संबंध में दर्शाया गया है, Sinθ  काल्पनिक भाग जिसे y-अक्ष के संबंध में दर्शाया जाता है, x-अक्ष और काल्पनिक रेखा के संबंध में बनाया गया कोण है, जो मूल और सम्मिश्र संख्या को जोड़ रहा है।

सम्मिश्र संख्या के सूत्र

सम्मिश्र संख्याओं पर चार प्रमुख सूत्र बीजीय संक्रियाओं पर आधारित होते हैं, जैसे-

यदि (p+iq) और (r+it) सम्मिश्र संख्याओं हैं तो,

निष्कर्ष

तो दोस्तों हमने आपको बताया है कि सम्मिश्र संख्या किसे कहते हैं इसकी परिभाषा क्या है और इसके गुण क्या हैं। कुछ व्यक्तियों को सम्मिश्र संख्याओं को समझने में कठिनाई होती है लेकिन मुझे आशा है कि हमारी वेबसाइट के माध्यम से आपने इसे बहुत आसानी से और जल्दी से सीख लिया होगा। मुझे उम्मीद है कि आपको इसमें और कोई संदेह नहीं है। अगर आपको हमारा लेख पसंद आया तो हमें कमेंट करके जरूर बताएं। अधिक रोचक जानकारी के लिए हमारे साथ बने रहें। लेख को आखिर तक पढ़ने के लिए धन्यवाद।